Question

【题目】设e为圆锥曲线的离心率，F为一个焦点，l是焦点所在的对称轴，O是l上距F较近的顶点，又M、N是l上满足的两点。求证：对曲线的过点M的任一条弦AB(A、B为弦的端点)，直线l平分NA和NB的一组夹角。

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

以O为原点、OF为x轴正向建立直角坐标系.

设|OF|=s，则曲线的方程为

又因为OF°0M+ 0F°ON= (1-e)0M°ON已限定M、N异于点O，且当为椭圆或双曲线时，M、N异于的中心(否则，有OF=(1-e)0M或OF=(1-e)ON，矛盾).故可设，知N.

又设直线：

其中θ的取值只须保证式②与有公共点.

将式②代入①并整理，可得.

.

当点A、B存在时，设所对应的参数分别为，则，

且由韦达定理知 ③

由式②可知,.

为证直线l平分NA和NB的一组夹角，只须证明直线NA和NB的斜率互为相反数.

这等价于证明

而此式恰等价于式③.故结论成立.