Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，直线l与椭圆C交于A、B两点，且

（1）求椭圆C的方程；

（2）若A、B两点关于原点O的对称点分别为，且，判断四边形是否存在内切的定圆？若存在，请求出该内切圆的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，

【解析】

（1）因为，所以，，所以，解得，代入方程即可 （2）①当直线的斜率存在时，设，由，，因为，所以，，，原点到直线的距离，同理可证，原点到达的距离都为，四边形存在内切的定圆，且该定圆的方程为②当直线的斜率不存在时，同理说明即可

解：(1)因为，所以，.因为直线与椭圆交于，两点，且，所以，所以，解得，所以，

所以椭圆的方程为

(2)①当直线的斜率存在时，设由

得，，

所以，

因为，所以，，即所以，所以原点到直线的距离

根据椭圆的对称性，同理可证，原点到达的距离都为，

所以四边形存在内切的定圆，且该定圆的方程为

②当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，不妨设分别为直线与椭圆的上、下交点，则，

由，得，，解得，

所以此时原点到直线的距离为.

根据椭圆的对称性，同理可证，原点到达的距离都为，

所以四边形存在内切的定圆，且该定圆的方程为.

综上可知，四边形存在内切的定圆，且该定圆的方程为