Question

已知椭圆C：的离心率为，其四个顶点组成的菱形的面积是，O为坐标原点，若点A在直线上，点B在椭圆C上，且.

（I） 求椭圆C的方程；

（II）求线段AB长度的最小值；

（III）试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.

Answer 1

解：（I）由题意，解得.

故椭圆C的标准方程为.                       …

（II）设点A，B的坐标分别为，其中，

因为，所以，即，      

解得，又，

所以

=

=

==，

因为，当且仅当时等号成立，所以，

故线段AB长度的最小值为.                

（III）直线AB与圆相切.            

证明如下：

设点A,B的坐标分别为，，其中.

因为，所以，即，解得.    

直线AB的方程为，

即，                          

圆心O到直线AB的距离,                   

由，，

故  ，             

所以 直线AB与圆相切.