Question

.(本小题满分12分）
已知函數f(x)=ln+mx2(m∈R)
(I)求函数f(x)的单调区间；
(II)若m=0，A(a,f(a))、B(b，f(b))是函数f(x)图象上不同的两点，且a>b>0, 为f(x)的导函数，求证：
(III)求证

Answer 1

(1)
在上单调递增,在上单调递减.
(2)构造函数利用单调性来证明不等式成立。
(3)在第二问的基础上，进行适当的放缩得到证明。

试题分析：解：（Ⅰ）f(x)的定义域为，

时，>0, 在上单调递增；
时，<0, 在上单调递减.
综上所述：
在上单调递增,在上单调递减.…………3分
（Ⅱ）要证，只需证,令即证，
令，
因此得证.…………………6分
要证，只要证，
令，只要证，
令，
因此，
所以得证.………………9分
另一种的解法:
令=,,
则 ,
所以在单调递增，

即得证.
(Ⅲ)由（Ⅱ）知,（），则

所以.………………12分
点评：解决该试题的关键是利用导数的正负来求解函数的单调区间，进而确定出最值，同时利用构造函数的思想，分离参数来求解函数的最值，解决不等式的恒成立问题，同时要对于不等式的证明，要采用适当的放缩来完成，属于难度试题。