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    设Sn=1+
    1
    2
    +
    1
    3
    +…+
    1
    n
    (n∈N*)，f(n)=S2n+1-Sn+1.
    （1）证明：f（n+1）＞f（n），
    （2）求实数m的取值范围，使n＞1且n∈N*，f(n)＞[logm(m-1)]2-
    11
    20
    [log(m-1)m]2    恒成立．
    分析：（1）由题意可知f(n+1)-f(n)=
    1
    2n+2
    +
    1
    2n+3
    -
    1
    n+2
    =(
    1
    2n+2
    -
    1
    2n+4
    )+(
    1
    2n+2
    -
    1
    2n+4
    )  ＞0    ，由此可以得到f（n+1）＞f（n）．
    （2）由f（x）是关于n的增函数，可知f(x)min=f(2)=
    1
    2+2
    +
    1
    2+3
    =
    9
    20
    ．要使n＞1且n∈N*，f(n)＞[logm(m-1)]2-
    11
    20
    [log(m-1)m]2    恒成立．只要
    9
    20
    ＞[logm(m-1)]2-
    11
    20
    [log(m-1)m]2    成立即可．由此入手能够推导出实数m的取值范围．
    解答：解：（1）∵Sn=1+
    1
    2
    +
    1
    3
    +…+
    1
    n
    (n∈N*)，f(n)=S2n+1-Sn+1.
    ∴f(n)=
    1
    n+2
    +
    1
    n+3
    +…+
    1
    2n+1
    ，
    ∵f(n+1)-f(n)=
    1
    2n+2
    +
    1
    2n+3
    -
    1
    n+2
    =(
    1
    2n+2
    -
    1
    2n+4
    )+(
    1
    2n+2
    -
    1
    2n+4
    )  ＞0    ，
    ∴f（n+1）＞f（n）．
    （2）∵f（n+1）＞f（n），∴f（x）是关于n的增函数，
    ∴f(x)min=f(2)=
    1
    2+2
    +
    1
    2+3
    =
    9
    20
    ．
    ∴要使n＞1且n∈N*，f(n)＞[logm(m-1)]2-
    11
    20
    [log(m-1)m]2    恒成立．
    只要
    9
    20
    ＞[logm(m-1)]2-
    11
    20
    [log(m-1)m]2    成立即可．
    由
    m＞0，m≠1
    m-1＞0，m-1≠1
    得m＞1且m≠2．
    设[logm（m-1）]2=t，则t＞0，
    ∴
    9
    20
    ＞t-
    11
    20
    t＞0
    ，∴0＜t＜1．
    ∴0＜[logm（m-1）]2＜1，
    解得m＞
    1+
    		5
    2
    ，且m≠2．
    点评：本题考查数列的性质和综合运用，解题时要注意挖掘隐含条件，认真审题，细心解答．
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    lim
    n→∞
    an
    Sn
    的值；
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    1
    t
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    1
    2
    +log2
    x
    1-x
    ，设Sn=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+f(
    3
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )    ，n∈N*，且n≥2．
    （1）求Sn；
    （2）已知a1=
    2
    3
    ，an=
    1
    (Sn+1)(Sn+1+1)
    ，（n≥2，n∈N*），数列{an}的前n项和为Tn，若Tn＜λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，求λ的取值范围．

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    1
    2
    +log2
    x
    1-x
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    1
    2
    ，y0)    为线段AB的中点．
    （1）求：y0的值．
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    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-2
    n
    )+f(
    n-1
    n
    )，  (n≥2，且n∈N*)    ，求：Sn．
    （3）在 （2）的条件下，已知an=
    2
    3
                         (n=1) 
    1
    (Sn+1)(Sn+1+1)
     (n≥2)
    ，记Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，求：λ的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

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    （1）当n=5时，求a2的值．
    （2）设Sn=1+
    1
    2
    +
    1
    3
    +…+
    1
    a0-1
    ，求证：
    n
    2
    ＜Sn≤n，n∈N*    ．

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