Question

8．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≥x\\ 4x+3y≤12\end{array}\right.$，则$\frac{x+2y+3}{x+1}$的取值范围是（　　）

• A． [1，5]
• B． [2，6]
• C． [2，10]
• D． [3，11]

Answer 1

分析 $\frac{x+2y+3}{x+1}$=$\frac{x+1+2（y+1）}{x+1}$=1+2×$\frac{y+1}{x+1}$，设k=$\frac{y+1}{x+1}$，利用z的几何意义进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：其中A（0，4），B（3，0）
$\frac{x+2y+3}{x+1}$=$\frac{x+1+2（y+1）}{x+1}$=1+2×$\frac{y+1}{x+1}$，
设k=$\frac{y+1}{x+1}$，则k=$\frac{y+1}{x+1}$的几何意义为平面区域内的点到定点D（-1，-1）的斜率，
由图象知BD的斜率最小，AD的斜率最大，
则BD的斜率k=1，AD的斜率为k=$\frac{4+1}{0+1}=5$，
即1≤k≤5，
则2≤2k≤10，
3≤1+2k≤11，
即$\frac{x+2y+3}{x+1}$的取值范围是[3，11]，
故选：D

点评 本题主要考查线性规划以及斜率的应用，利用z的几何意义结合分式的性质，利用数形结合是解决本题的关键．