Question

18．曲线y=2lnx上的点到直线2x-y+1=0处的最短距离是$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 设直线2x-y+c=0是曲线y=2lnx的切线且与直线2x-y+1=0平行，利用导数的几何意义求出切点坐标，再由点到直线的距离公式，即可算出曲线y=2lnx上的点到直线2x-y+1=0的最短距离．

解答 解：设直线2x-y+c=0与直线2x-y+1=0平行，
且与曲线y=2lnx相切，切点为P（m，2lnm）
由y'=$\frac{2}{x}$，即有$\frac{2}{m}$=2，解得m=1，
可得切点为P（1，0），
可得P到直线2x-y+1=0的距离d=$\frac{|2-0+1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
即曲线y=2lnx上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题求曲线上动点到直线的最短距离，着重考查了点到直线的距离公式和导数的几何意义等知识，属于中档题．