Question

13．如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，o＜ω＜π）在x∈[-4，0]时的图象，且图象的最高点为B（-1，2）；赛道的中间部分是长为$\sqrt{3}$千米的直线跑道CD，且CD∥EF；赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE．
（1）求y=Asin（ωx+φ）的解析式和∠DOE的弧度数；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪PQMN”，矩形的一边MN在道路EF上，一个顶点Q在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且设∠POE=θ，求“矩形草坪PQMN”面积S的最大值，以及S取最大值时θ的值．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得∠COD=$\frac{π}{4}$ 和∠DOE的值．
（2）由条件求得矩形草坪面积为S=$\sqrt{6}$sinθ（$\sqrt{6}$cosθ-$\sqrt{6}$sinθ），再利用三角恒等变换、正弦函数的定义域和值域求得S的最大值以及此时θ的值．

解答 解：（1）由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象可得A=2，$\frac{T}{4}$=-1-（-4）=$\frac{π}{2ω}$，∴ω=$\frac{π}{6}$．
再根据五点法作图可得$\frac{π}{6}×（-4）$+φ=0，求得φ=$\frac{2π}{3}$，故该曲线段是函数y=2sin（$\frac{π}{6}$x+$\frac{2π}{3}$）．
当x=0时，y=OC=2sin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$，又 CD=$\sqrt{3}$，∴∠COD=$\frac{π}{4}$，从而得到∠DOE=$\frac{π}{4}$．
（2）OD=$\sqrt{2}$OC=$\sqrt{6}$，易知当矩形草坪面积最大时，点P在DE弧上，故OP=$\sqrt{6}$．
设∠POE=θ，θ∈（0，$\frac{π}{4}$），则矩形草坪面积为S=$\sqrt{6}$sinθ（$\sqrt{6}$cosθ-$\sqrt{6}$sinθ）
=6（sinθcosθ-sin²θ）=6（$\frac{1}{2}$sin2θ+$\frac{1}{2}$cos2θ-$\frac{1}{2}$）=3$\sqrt{2}$sin（2θ+$\frac{π}{4}$）-3，
再根据2θ+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），可得当2θ+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{8}$时，矩形草坪面积为S取得最大值为3$\sqrt{2}$-3．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，三角恒等变换、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．