Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣x2﹣ax．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex﹣x2﹣ax，∴f′（x）=ex﹣2x﹣a，则f′（0）=1﹣a．

由题意知1﹣a=2，即a=﹣1．

∴f（x）=ex﹣x2+x，则f（0）=1．

于是1=2×0+b，b=1．

（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即ex﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤ex﹣2x恒成立．

设h（x）=ex﹣2x，则h′（x）=ex﹣2．

∴当x∈（﹣∞，ln2）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；

当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数．

∴h（x）min=h（ln2）=2﹣2ln2．

∴a≤2﹣2ln2，即a的最大值为2﹣2ln2．

【解析】（Ⅰ）求出f′（x）由f′（0）=1﹣a=2，求得a=﹣1．得到f（x）=ex﹣x2+x，再由f（0）=1求得b值；（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即ex﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤ex﹣2x恒成立．令h（x）=ex﹣2x，利用导数求其最小值得答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．