Question

如图，A，B，C，D为空间四点。在△ABC中，AB=2，AC=BC=。等边三角形ADB以AB为轴转动，
（Ⅰ）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
（Ⅱ）当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论。

Answer 1

解：（Ⅰ）取AB的中点E，连结DE，CE， 因为ADB是等边三角形，所以DE⊥AB， 当平面ADB⊥平面ABC时， 因为平面， 所以DE⊥平面ABC， 可知DE⊥CE， 由已知可得DE=，EC=1， 在Rt△DEC中，。
（Ⅱ）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD。 证明：（ⅰ）当D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD=BD， 所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD； （ⅱ）当D不在平面ABC内时，由（Ⅰ）知AB⊥DE， 又因AC=BC，所以AB⊥CE， 又DE，CE为相交直线， 所以AB⊥平面CDE， 由平面CDE，得AB⊥CD； 综上所述，总有AB⊥CD。