Question

已知f（x）的定义域为R，且满足对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，且f（1）=-3；
（1）求f（0）与f（3）；              
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）的单调性；          
（4）解不等式f（x²+1）+f（x）≤-9．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法即可求f（0）与f（3）；              
（2）根据函数f（x）的奇偶性的定义，利用赋值法即可得到结论．；
（3）根据函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性；          
（4）将不等式f（x²+1）+f（x）≤-9进行等价转化，结合函数的奇偶性和单调性的性质即可得到结论．．

解答： 解：（1）令y=0，则由条件得f（x+0）=f（x）+f（0），即f（0）=0，
当x=y=1时，f（2）=f（1）+f（1）=2f（1）=2×（-3）=-6，
f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=-3-6=-9；              
（2）∵f（0）=0，∴令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），则f（x）是奇函数；
（3）设x₁＜x₂，则设x₂-x₁＞0，此时f（x₂-x₁）＜0，
即f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0，则f（x₂）＜f（x₁），
即f（x）的单调递减；          
（4）不等式f（x²+1）+f（x）≤-9等价为f（x²+1）+f（x）≤f（3），
即f（x²+1+x）≤f（3），
∵函数f（x）的单调递减，
∴x²+1+x≥3，即x²+x-2≥0，
解得x≥1或x≤-2，
即不等式的解集为{x|x≥1或x≤-2}．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数单调性和奇偶性的定义是解决本题的关键．