Question

已知函数f（x）=ax²-x+lnx（a＞0）．
（Ⅰ）若f（x）是单调函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，证明：f（x₁）+f（x₂）＜2ln2-3．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,证明题,分类讨论,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导数，讨论判别式△=1-8a，△≤0，△＞0，从而判断函数的单调性；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当且仅当0＜a＜

1

8

时，f（x）有极小值点x₁，极大值点x₂，化简f（x₁）+f（x₂），注意运用方程根的定义和韦达定理，令g（a）=-

1

4a

-1-ln（2a），a∈（0，

1

8

），求出导数，判断单调性，运用单调性即可得证．

解答： （Ⅰ）解：f′（x）=2ax-1+

1

x

=

2ax2-x+1

x

（x＞0），
当a≥

1

8

时，△=1-8a≤0，f′（x）≥0，
f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当0＜a＜

1

8

时，△＞0，方程2ax²-x+1=0有两个不相等的正根，
x₁=

1- 1-8a

4a

，x₂=

1+ 1-8a

4a

，x₁+x₂=

1

2a

，x₁x₂=

1

2a

，
当x∈（0，x₁）∪（x₂，+∞），f′（x）＞0，x∈（x₁，x₂），f′（x）＜0，
这时f（x）不是单调函数．
综上，a的取值范围是[

1

8

，+∞）；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当且仅当0＜a＜

1

8

时，f（x）有极小值点x₁，极大值点x₂，
f（x₁）+f（x₂）=ax₁²-x₁+lnx₁+ax₂²-x₂+lnx₂
=

1

2

（x₁-1）-x₁+lnx₁+

1

2

（x₂-1）-x₂+lnx₂
=-

1

2

（x₁+x₂）-1+ln（x₁x₂）=-

1

4a

-1-ln（2a）
令g（a）=-

1

4a

-1-ln（2a），a∈（0，

1

8

），
则当a∈（0，

1

8

）时，g′（a）=

1

4a2

-

1

a

=

1-4a

4a2

＞0，
g（a）在（0，

1

8

）单调递增，
所以g（a）＜g（

1

8

）=2ln2-3，
即f（x₁）+f（x₂）＜2ln2-3．

点评：本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值，考查二次方程的韦达定理及运用，考查构造函数应用导数证明不等式，考查运算和逻辑推理能力，属于中档题．