Question

将编号为1，2，3，4，5的五个同质量的小球，随机地放入编号为1，2，3，4，5的五个小盒中，每盒仅放一个小球，若第i（i=1，2，3，4，5）号小球恰好放入第i号小盒，则称其为一个匹对，用ξ表示匹对的个数．
（1）求第3号小球恰好放入第3号小盒的概率．
（2）求1号小球不落入1号小盒且5号小球也不落入5号小盒的概率．
（3）求匹对的个数ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）由题意设第3号小球恰好放入第3号小盒记为时间A，有古典概型随机事件的概率公式可得；
（2）由题意记1号小球不落入1号小盒且5号小球不落入5号小盒的事件记为B，利用古典概型随机事件的概率公式即可求得；
（3）由于ξ表示匹对的个数，由题意则ξ可能取：0，1，2，3，5，并利用古典概型随机事件的概率公式及排列数与组合数，求出其分布列及期望．

解答：解：（1）第3号小球恰好放入第3号小盒记为时间A，则
P（A）=

A 4 4

A 5 5

=

1

5

，
（2）1号小球不落入1号小盒且5号小球不落入5号小盒的事件记为B，
则P（B）=

A 5 5 -2 A 4 4 + A 3 3

A 5 5

=

13

20

，
（3）由题意ξ可能取：0，1，2，3，5，则
P(ξ=1)=

C 1 5 ×9

A 5 5

=

3

8

，P(ξ=2)=

C 2 5 ×2

A 5 5

=

1

6

，P(ξ=3)=

C 3 5

A 5 5

=

1

12

，P(ξ=5)=

1

A 5 5

=

1

120

，P(ξ=0)=1-

3

8

-

1

6

-

1

12

-

1

120

=

11

30

  
ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	5
P	11 30	3 8	1 6	1 12	1 120

Eξ=0×

11

30

+1×

3

8

+2×

1

6

+3×

1

12

+5×

1

120

=1．

点评：此题考查了等可能事件的概率公式，离散型随机变量的定义及其分布列，并且利用分布列求出期望，还考查了考虑问题时的严谨的逻辑思维及计算能力．