Question

已知函数f（x）=x³-ax²+3x，a∈R，
（1）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，5]上的最大值；
（2）若函数f（x）是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意知f'（x）=3x²-2ax+3=0的一个根为x=3，把这个根代入得到字母系数的值，求出a=5，再求出函数的极值，把极值同两个端点的值进行比较得到最值．（2）对函数求导，要f（x）在R上是增函数，则有3x²-2ax+3≥0在R内恒成立，问题转化成恒成立问题，根据基本不等式得到结果．

解答：解：（1）由题意知f'（x）=3x²-2ax+3=0的一个根为x=3，从而f′（3）=0，解得a=5，所以f'（x）=3x²-10x+3=0的另一个根为x=

1

3

，函数在（1，3）上为减函数，（3，5）上为增函数，从而可知当x=5时，f（x）在x∈[1，5]上的最大值
是15
（2）函数f（x）是R上的单调递增函数转化为3x²-2ax+3≥0在R内恒成立，
从而有f'（x）=3x²-10x+3=0的△≤0，解得a∈[-3，3]．

点评：本题考查导数的应用，求极值和求最值，考查学生等价转化问题的能力．