Question

【题目】函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意实数满足： ,, 考查下列结论：① ；②为奇函数；③数列为等差数列；④数列为等比数列.

以上结论正确的是__________．

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

①因为对定义域内任意x,y,f(x)满足f(xy)=yf(x)+xf(y)，

∴令x=y=1,得f(1)=0，故①错误，

②令x=y=1,得f(1)=0；

令y=1,有f(x)=f(x)+xf(1)，

代入f(1)=0得f(x)=f(x)，

故f(x)是(∞,+∞)上的奇函数．故②正确，

③若 (n∈N)，

则

.为常数.

故数列{}为等差数列，故③正确，

④∵f(2)=2,f(xy)=xf(y)+yf(x)，

∴当x=y时,f(x2)=xf(x)+xf(x)=2xf(x)，

则，

.

…

则，

若n∈N)，

则为常数，

则数列{}为等比数列，故④正确，

故答案为②③④．