【题目】设点是抛物线
上异于原点
的一点,过点
作斜率为
、
的两条直线分别交
于
、
两点(
、
、
三点互不相同).
(1)已知点,求
的最小值;
(2)若,直线
的斜率是
,求
的值;
(3)若,当
时,
点的纵坐标的取值范围.
【答案】(1)(2)
(3)
或
【解析】
(1)因为,设
,则
,由两点间距离公式可求得:
,即可得出
的最小值;
(2)因为,所以
,设
的直线方程
:
,将
与
联立方程组,消掉
,通过韦达定理,将点
坐标用
表示同理可得到
坐标.即可求得直线
的斜率是
,进而求得答案;
(3)因为,故
.
、
两点抛物线上,可得
,
,即可求得向量
和
.由
,可得到关于
和
方程,将方程可以看作关于
的一元二次方程, 因为
且
,
,故此方程有实根,
,即可求得
点的纵坐标的取值范围.
(1)
在
,设
,则
由两点间距离公式可求得:
令,
(当
即
取等号)
的最小值
.
(2)
,
,故
则的直线方程
:
将与
联立方程组,消掉
则: ,得:
化简为:.
由韦达定理可得: 解得:
,可得:
,故
同理可得:
直线的斜率是
故: 即
的值为
.
(3)
,
,故
,
在
、
两点抛物线上
,
,
,故
整理可得:
、
、
三点互不相同,故:
,
可得: 即:
此方程可以看作关于
的一元二次方程,
且
,
,故此方程有两个不相等的实根:
即
故:
解得: 或
点的纵坐标的取值范围:
或
.
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【题目】如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=,AC=2,∠BAC=∠A1AC=45°,∠BAA1=60°,F为棱AC的中点,E在棱BC上,且BE=2EC.
(Ⅰ)求证:A1B∥平面EFC1;
(Ⅱ)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
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【题目】已知空间中不同直线m、n和不同平面α、β,下面四个结论:
①若m、n互为异面直线,m∥α,n∥α,m∥β,n∥β,则α∥β;
②若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β;
③若n⊥α,m∥α,则n⊥m;
④若α⊥β,m⊥α,n∥m,则n∥β.
其中正确的是( )
A.B.
C.
D.
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【题目】如图所示,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:,椭圆C2:
,C2与C1的长轴长之比为
∶1,离心率相同.
(1)求椭圆C2的标准方程;
(2)设点为椭圆C2上一点.
① 射线与椭圆C1依次交于点
,求证:
为定值;
② 过点作两条斜率分别为
的直线
,且直线
与椭圆C1均有且只有一个公共点,求证:
为定值.
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【题目】设数列{an}前n项和为Sn,满足Sn+1=4an+2(n∈N+),且a1=1,
(1)若cn,求证:数列{cn}是等差数列.
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
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【题目】某工厂今年初用128万元购进一台新的设备,并立即投入使用,计划第一年维修、保养费用8万元,从第二年开始,每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元,该设备使用后,每年的总收入为54万元,设使用x年后设备的盈利总额y万元.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)从第几年开始,该设备开始盈利?
(3)使用若干年后,对设备的处理有两种方案:①年平均盈利额达到最大值时,以42万元价格卖掉该设备;②盈利额达到最大值时,以10万元价格卖掉该设备.问哪种方案处理较为合理?请说明理由.
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【题目】已知椭圆的四个顶点组成的四边形的面积为
,且经过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若椭圆的下顶点为
,如图所示,点
为直线
上的一个动点,过椭圆
的右焦点
的直线
垂直于
,且与
交于
两点,与
交于点
,四边形
和
的面积分别为
.求
的最大值.
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