Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=

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2

AA1，D是棱AA₁的中点，DC₁⊥BD
（1）证明：DC₁⊥BC
（2）求二面角A₁-BD-C₁的大小．

Answer 1

（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°
同理：∠A₁DC₁=45°，∴∠CDC₁=90°
∴DC₁⊥DC，DC₁⊥BD
∵DC∩BD=D
∴DC₁⊥面BCD
∵BC?面BCD
∴DC₁⊥BC
（2）∵DC₁⊥BC，CC₁⊥BC，DC₁∩CC₁=C₁，∴BC⊥面ACC₁A₁，
∵AC?面ACC₁A₁，∴BC⊥AC
取A₁B₁的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C₁O，OH
∵A₁C₁=B₁C₁，∴C₁O⊥A₁B₁，
∵面A₁B₁C₁⊥面A₁BD，面A₁B₁C₁∩面A₁BD=A₁B₁，
∴C₁O⊥面A₁BD
而BD?面A₁BD
∴BD⊥C₁O，
∵OH⊥BD，C₁O∩OH=O，
∴BD⊥面C₁OH∴C₁H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C₁DO是二面角A₁-BD-C₁的平面角
设AC=a，则C1O=

2 a

2

，C1D=

2

a=2C1O，
∴sin∠C₁DO=

1

2

∴∠C₁DO=30°
即二面角A₁-BD-C₁的大小为30°