Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA₁⊥AC₁．
（1）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求二面角A₁-BC-A的大小；
（3）求CC₁到平面A₁AB的距离．

Answer 1

（1）证明：因为A₁D⊥平面ABC，所以平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA₁C₁C，
得BC⊥AC₁，又BA₁⊥AC₁
所以AC₁⊥平面A₁BC；（4分）
（2）由（1）已证BC⊥平面AA₁C₁C，所以BC⊥AC，BC⊥A₁C，∠A₁CA为二面角A₁-BC-A的平面角．
由AC₁⊥平面A₁BC，得出AC₁⊥A₁C，所以平行四边形AA₁C₁C为菱形．
由于A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，所以A₁A=A₁C，所以△A₁CA为正三角形，得出∠A₁CA=60°
即二面角A₁-BC-A的大小为60°
（3）由（2）四边形AA₁C₁C为菱形，△A₁CA为正三角形，
故AA₁=AC=2，∠A₁AC=60°．
取AA₁中点F，则AA₁⊥CF又AA₁⊥BC，所以AA₁⊥平面BCF，从而面A₁AB⊥面BCF，
过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A₁AB，
在Rt△BCF中，BC=2，CF=

3

，故CH=

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，
即CC₁到平面A₁AB的距离为CH=

2 21

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