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在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=2,AA1=2
2
,∠ACB=90°,M是AA1的中点,N是BC1的中点
(1)求证:MN平面A1B1C1
(2)求点C1到平面BMC的距离;
(3)求二面角B-C1M-A1的平面角的余弦值大小.
(1)证明:如图所示,取B1C1中点D,连接ND、A1D,则DNBB1AA1
又DN=
1
2
BB1=
1
2
AA1=A1M,∴四边形A1MND为平行四边形.
∴MNA1D
又MN?平面A1B1C1,AD1?平面A1B1C1
∴MN平面A1B1C1
(2)直三棱柱ABC-A1B1C1中,C1C⊥BC
∵∠ACB=90°,∴BC⊥平面A1MC1
在平面ACC1A1中,过C1作C1H⊥CM,又BC⊥C1H,所以C1H为点C1到平面BMC的距离
在等腰三角形CMC1中,C1C=2
2
,CM=C1M=
6

∴C1H=
CC1•AC
CM
=
4
3
3

(3)在平面ACC1A1上作CE⊥C1M交C1M于点E,A1C1于点F,则CE为BE在平面ACC1A1上的射影,
∴BE⊥C1M,∴∠BEF为二面角B-C1M-A的平面角,
在等腰三角形CMC1中,CE=C1H=
4
3
3

∴tan∠BEC=
BC
CE
=
3
2

∴∠BEC=arctan
3
2
,∴∠BEF=π-arctan
3
2

∴cos∠BEF=
2
7
7

即二面角B-C1M-A1的平面角的余弦值为
2
7
7
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在四棱锥P-ABCD中,侧面PDC是边长2的正三角形且与底面ABCD垂直,底面ABCD是面积为2
3
的菱形,∠ADC为锐角.
(1)求证:PA⊥CD
(2)求二面角P-AB-D的大小.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等,且AB=AC=
3
,BC=2,则以BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为(  )
A.
3
3
B.
1
3
C.0D.-
1
2

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

在三棱锥S-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=
2
,SA=SC=2,二面角S-AC-B的余弦值是
3
3
,若S、A、B、C都在同一球面上,则该球的表面积是______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知BA1⊥AC1
(1)求证:AC1⊥平面A1BC;
(2)求二面角A1-BC-A的大小;
(3)求CC1到平面A1AB的距离.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,二面角α-l-β的棱l上有两点B、C,AB⊥l,CD⊥l,且AB⊆α,CD⊆β,若AB=CD=BC=2,AD=4,则此二面角的大小为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=1,点P在平面BCC1B1内,PB1=PC1=
2

(1)求证:PA1⊥BC;
(2)求二面角C1-PA1-A.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在几何体ABCDE中,AB=AD=BC=DC=2,AE=2
2
,AB⊥AD,且AE⊥平面ABD,平面CBD⊥平面ABD.
(Ⅰ)求证:AB平面CDE;
(Ⅱ)求二面角A-EC-D的余弦值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

如图(a),在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体,使B、C、D三点重合,重合后的点记为H,如图(b)所示,那么,在四面体A-EFH中必有(  )

A.AH⊥△EFH所在平面
B.AG⊥△EFH所在平面
C.HF⊥△AEF所在平面
D.HG⊥△AEF所在平面

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