Question

在三棱锥S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=

2

，SA=SC=2，二面角S-AC-B的余弦值是

3

3

，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是______．

Answer 1

如图所示：
取AC中点D，连接SD，BD，则由AB=BC，SA=SC得出SD⊥AC，BD⊥AC，
∴∠SDB为S-AC-B的平面角，且AC⊥面SBD．
由题意：AB⊥BC，AB=BC=

2

，易得：△ABC为等腰直角三角形，且AC=2，
又∵BD⊥AC，故BD=AD=

1

2

AC，
在△SBD中，BD=

1

2

AC=

1

2

×2=1，
在△SAC中，SD²=SA²-AD²=2²-1²=3，
在△SBD中，由余弦定理得SB²=SD²+BD²-2SD•BDcos∠SDB=3+1-2×

3

×1×

3

3

=2，
满足SB²=BD²=SD²，∴∠SBD=90°，SB⊥BD，
又SB⊥AC，BD∩AC=D，∴SB⊥面ABC．
以SB，BA，BC为顶点可以补成一个棱长为

2

的正方体，S、A、B、C都在正方体的外接球上，
正方体的对角线为球的一条直径，所以2R=

3

×

2

，R=

6

2

，球的表面积S=4π×

6

4

=6π．
故答案为：6π．