Question

如图，已知正三棱柱ABC=A₁B₁C₁的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC₁上，且不与点C重合．
（Ⅰ）当CF=1时，求证：EF⊥A₁C；
（Ⅱ）设二面角C-AF-E的大小为θ，求tanθ的最小值．

Answer 1

（I）过E作EN⊥AC于N，连接EF，NF，AC₁，由直棱柱的性质可知，底面ABC⊥侧面A₁C
∴EN⊥侧面A₁C
NF为EF在侧面A₁C内的射影
在直角三角形CNF中，CN=1
则由

CF

CC1

=

CN

CA

=

1

4

，得NF∥AC₁，又AC₁⊥A₁C，故NF⊥A₁C
由三垂线定理可知EF⊥A₁C
（II）连接AF，过N作NM⊥AF与M，连接ME
由（I）可知EN⊥侧面A₁C，根据三垂线定理得EM⊥AF
∴∠EMN是二面角C-AF-E的平面角即∠EMN=θ
设∠FAC=α则0°＜α≤45°，
在直角三角形CNE中，NE=

3

，在直角三角形AMN中，MN=3sinα
故tanθ=

3

3sinα

，又0°＜α≤45°∴0＜sinα≤

2

2

故当α=45°时，tanθ达到最小值，
tanθ=

6

3

，此时F与C₁重合