Question

如图，在几何体ABCDE中，AB=AD=BC=DC=2，AE=2

2

，AB⊥AD，且AE⊥平面ABD，平面CBD⊥平面ABD．
（Ⅰ）求证：AB∥平面CDE；
（Ⅱ）求二面角A-EC-D的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：如图建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2

2

），
取BD中点T，连CT，AT，则CT⊥BD，
又平面CBD⊥平面ABD，
∴CT⊥平面ABD，∴CT∥AE，
∵CD=BC=2，BD=2

2

，
∴CD⊥CB，∴CT=

2

，
∴C（1，1，

2

），
∴

AB

=（2，0，0），

DE

=（0，-2，2

2

），

DC

=（1，-1，

2

），
设平面CDE的一个法向量为

n

=（x，y，z），
则有

-2y+2 2 z=0 x-y+ 2 z=0

，
取z=2，则y=2

2

，x=0，
∴

n

=（0，2

2

，2），
∴

AB

•

n

=0
∴AB∥平面CDE；
（Ⅱ）∵BD⊥AT，BD⊥AE，∴BD⊥平面ACE，
∴平面AEC的一个法向量为

BD

=（-2，2，0），
∵平面CDE的一个法向量

n

=（0，2

2

，2），
∴cos＜

n

，

BD

＞=

3 2

2 2 •2 3

=

3

4

，
∴二面角A-EC-D的余弦值为

3

4

．