Question

已知函数(,为自然对数的底数).
(1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;
(2)求函数的极值;
(3)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.

Answer 1

(1）.；(2)当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值.；(3)的最大值为.

试题分析：(1)由于曲线在点处的切线平行于轴，所以.求导解方程即可得的值.(2)由于函数中含参数，故需要分情况讨论.求导得：，分情况求出函数的单调区间即可得函数的极值；(3)当时，.直线:与曲线没有公共点等价于关于的方程在上没有实数解.一般地考虑分离参数.即变形为：
(*)在上没有实数解.当时，方程(*)可化为，在上没有实数解.当时，方程(*)化为.令，利用导数求出的取值范围即可得的取值范围.
试题解析：(1)由,得.
又曲线在点处的切线平行于轴,
得,即,解得.
(2),
①当时,,为上的增函数,所以函数无极值.
②当时,令,得,.
,;,.
所以在上单调递减,在上单调递增,
故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.
综上,当时,函数无极小值;
当,在处取得极小值,无极大值.
(3)当时,.
直线:与曲线没有公共点,
等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:
(*)
在上没有实数解.
①当时,方程(*)可化为,在上没有实数解.
②当时,方程(*)化为.
令,则有.
令,得,
当变化时,的变化情况如下表:
 
当时,,同时当趋于时,趋于,
从而的取值范围为.所以当时,方程(*)无实数解,解得的取值范围是.
综上,得的最大值为.