Question

已知数列{a_n}的前n项和为．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）当n≥2时，
当n=1，a₁=S₁=1，满足上式
∴a_n=n（n∈N^*）②
（Ⅱ）由，得b_n=n•2ⁿ
T_n=2+2•2²+3•2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ①
2T_n=2²+2•2³+3•2⁴++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
①-②得，
-T_n=2+2²+2³++2^n-1+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
分析：（Ⅰ）当n≥2时，根据a_n=s_n-s_n-1，求数列{a_n}的通项公式，然后验证当n=1时，也符合上式，即可求出通项公式．
（Ⅱ）先写数列{b_n}的通项公式，然后看出数列{b_n}的前n项和T_n和2T_n，再计算出T_n-2T_n，进而可以求出前n项和T_n．
点评：本题考查了等差数列的通项公式以及数列的求和，对于等差数列与等比数列相乘形式的数列求和，一般采取错位相减的方法．