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    设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a>0.

    ①求f(x)的单调区间；②求所有实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．

     

    ①f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．②a＝e

    【解析】①f(x)＝a2ln x－x2＋ax，其中x>0，

    所以f′(x)＝－2x＋a＝.

    由于a>0，∴由f′(x)>0知0<x<a，

    由f′(x)<0知x>a.

    所以，f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．

    ②由题意知f(1)＝a－1≥e－1，

    即a≥e.

    由①知f(x)在[1，e]内递增，

    要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．

    只要 ∴a＝e.

     

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