Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣5x﹣18
（1）求不等式g（x）＜0的解集
（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：g（x）=2x2﹣5x﹣18＜0

∴（2x﹣9）（x+2）＜0解得 ，

∴不等式g（x）＜0的解集为

（2）解：解法一：∵f（x）=x2﹣2x﹣8当x＞2时，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15恒成立，

∴x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15，即x2﹣4x+7≥m（x﹣1），

∴对一切x＞2，均有不等式 成立．

而 （当x=3时等号成立）．

∵x＞2，

∴实数m的取值范围是（﹣∞，2]．

解法二：∵f（x）=x2﹣2x﹣8当x＞2时，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15恒成立，

即x2﹣（m+4）x+m+7≥0对x＞2恒成立

令h（x）=x2﹣（m+4）x+m+7，

△=（m+4）2﹣4（m+7）=m2+4m﹣12=（m+6）（m﹣2）

①当h（x）图象与x轴没有交点或只有一个交点时，△≤0即﹣6≤m≤2时满足条件

②当h（x）图象与x轴有两个交点时，则有 即

综上所述，实数m的取值范围是（﹣∞，2]

【解析】（1）直接因式分解后求解不等式的解集；（2）解法一：把函数f（x）的解析式代入f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15，分离变量m后利用基本不等式求解m的取值范围．解法二：构造函数h（x）=x2﹣（m+4）x+m+7，根据方程根的问题，分类讨论即可求出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．