Question

在1与2之间插入n个正数a₁，a₂，a₃，…，a_n，使这n+2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b₁，b₂，b₃，…，b_n，使这n+2个数成等差数列．记A_n=a₁a₂a₃…a_n，B_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n．
（1）求数列{A_n}和{B_n}的通项；
（2）当n≥7时，比较A_n和B_n的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由1，a₁，a₂，a₃，…，a_n，n成等比数列，结合等比数列的性质可得，a₁a_n=a₂a_n-1=…=a_ka_n-k=1×2，从而可求A_n；1，b₁，b₂，b₃，…，b_n，2这n+2个数成等差数列．利用等差数列的性质可得b₁+b_n=b₂+b_n-1=…=b_k+b_n-k=1+2从而可求B_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n．
（2）由（1）可求A_n，B_n＞0，转化比较A_n²，B_n²的大小，先取n=7，8，9代入计算，观察A_n²与B_n²的大小，做出猜想，利用数学归纳法进行证明．

解答：解：（1）∵1，a₁，a₂，a₃，a_n，2成等比数列，
∴a₁a_n=a₂a_n-1=a₃a_n-2═a_ka_n-k+1═1×2=2，
∴A_n²=（a₁a_n）（a₂a_n-1）（a₃a_n-2）（a_n-1a₂）（a_na₁）=（1×2）ⁿ=2ⁿ，
∴An=2

n

2

．（4分）
∵1，b₁，b₂，b₃，b_n，2成等差数列，
∴b₁+b_n=1+2=3，
∴Bn=

b1+bn

2

•n=

3

2

n．
所以，数列{A_n}的通项An=2

n

2

，数列{B_n}的通项Bn=

3

2

n．（6分）
（2）∵An=2

n

2

，Bn=

3

2

n，
∴A_n²=2ⁿ，

B

2 n

=

9

4

n2，
要比较A_n和B_n的大小，只需比较A_n²与B_n²的大小，也即比较当n≥7时，2ⁿ与

9

4

n2的大小．
当n=7时，2ⁿ=128，

9

4

n2=

9

4

×49，得知2n＞

9

4

n2，
经验证n=8，n=9时，均有命题2n＞

9

4

n2成立．
猜想当n≥7时有2n＞

9

4

n2．用数学归纳法证明．（9分）
①当n=7时，已验证2n＞

9

4

n2，命题成立．
②假设n=k（k≥7）时，命题成立，即2k＞

9

4

k2，
那么2k+1＞2×

9

4

k2，
又当k≥7时，有k²＞2k+1，
∴2k+1＞

9

4

×(k2+2k+1)=

9

4

×(k+1 )2．
这就是说，当n=k+1时，命题2n＞

9

4

n2成立．
根据（ⅰ）、（ⅱ），可知命题对于n≥7都成立．
故当n≥7时，A_n＞B_n．（12分）

点评：本小题主要考查等差数列、等比数列的基础知识，考查观察、猜想并进行证明的数学思想方法．（数学归纳法）．而数学归纳法的关键是要由归纳假设n=k成立推导出n=k+1时命题（结论）成立．