Question

在1与2之间插入n个正数a₁,a₂,a₃,…,a_n,使这n+2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b₁,b₂,b₃,…,b_n，使这n+2个数成等差数列.记A_n=a₁a₂a₃…a_n,B_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n.

(1)求数列{A_n} 和{B_n}的通项；

(2)当n≥7时，比较A_n与B_n的大小，并证明你的结论.

Answer 1

解析：(1)因为1，a₁,a₂,a₃,…,a_n，2成等比数列，

所以a₁a_n=a₂a_n-1=a₃a_n-2=…=a_ka_n-k+1=…=1×2=2,

所以A_n²=(a₁a_n)(a₂a_n-1)(a₃a_n-2)…

(a_n-1a₂)(a_na₁)=(1×2)ⁿ=2ⁿ,所以A_n=.

因为1,b₁,b₂,b₃,…,b_n，2成等差数列，所以b₁+b_n=1+2=3,所以B_n=·n=n.

所以，数列{A_n}的通项A_n=，数列{B_n}的通项B_n=n.

(2)A_n=,B_n=n,

猜想当n≥7时有2ⁿ＞n²，用数学归纳法证明.

①当n=7时，已验证2ⁿ＞n²，命题成立.

②假设n=k(k≥7)时，命题成立，即2^k＞k²,

那么2^k+1＞2×k²,

又当k≥7时，有k²＞2k+1,

所以2^k+1＞(k²+2k+1)=(k+1)².

这就是说当n=k+1时，命题2ⁿ＞n²成立.

根据①②可知命题对n≥7都成立，故当n≥7时，A_n＞B_n.