Question

在1与2之间插入n个正数a₁,a₂,a₃,…,a_n,使这n+2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b₁,b₂,b₃,…,b_n,使这n+2个数成等差数列.记A_n=a₁a₂a₃…a_n,B_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n.

(1)求数列{A_n}和{B_n}的通项；

（2）当n≥7时，比较A_n与B_n的大小，并证明你的结论.

Answer 1

解析：（1）∵1，a₁,a₂,a₃,…,a_n,2成等比数列，

∴a₁a_n=a₂a_n-1=a₃a_n-2=…=a_ka_n-k+1=…=1×2=2.

∴A_n²=(a₁a_n)(a₂a_n-1)(a₃a_n-2)…(a_n-1a₂)(a_na₁)=(1×2)ⁿ=2ⁿ.

∴A_n=.∵1,b₁,b₂,b₃,…,b_n,2成等差数列，

∴b₁+b_n=1+2=3.

∴B_n=·n=n.

∴数列{A_n}的通项A_n=数列{B_n}的通项B_n=n.

(2)∵A_n=,B_n=n,∴A_n²=2ⁿ,B_n²=n².要比较A_n与B_n的大小，只需比较A_n²与B_n²的大小,也即比较当n≥7时，2ⁿ与n²的大小.当n=7时，2ⁿ=128,n²=×49,得知2ⁿ＞n².

经验证，n=8，n=9时均有命题2ⁿ＞n²

成立.猜想当n≥7时，有2ⁿ＞n²,用数学归纳法证明.

①当n=7时，已验证2ⁿ＞n²,命题成立.

②假设n=k(k≥7)时命题成立，即2^k＞k²,那么2^k+1＞2×k².又当k≥7时，有k²＞2k+1.

∴2^k+1＞×(k²+2k+1)=(k+1)².这就是说，当n=k+1时，命题2ⁿ＞n²成立.

根据①②，可知命题对于n≥7都成立.故当n≥7时，A_n＞B_n.