Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

cosA

cosB

=

b

a

，且∠C=

2π

3

．
（Ⅰ）求角A，B的大小；
（Ⅱ）设函数f（x）=sin（2x+A）-sin²x+cos²x，求函数f（x）的周期及其在[-

π

12

，

π

6

]上的值域．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用正弦定理可得

cosA

cosB

=

b

a

=

sinB

sinA

，于是有sin2A=sin2B，结合∠C=

2π

3

即可求得角A，B的大小；
（Ⅱ）利用三角恒等变换，可求得f（x）=

3

sin(2x+

π

3

)，从而可求其周期及x∈[-

π

12

，

π

6

]时的值域．

解答： （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∵

cosA

cosB

=

b

a

，由正弦定理得

cosA

cosB

=

b

a

=

sinB

sinA

，即sin2A=sin2B，…2
∴A=B或A+B=

π

2

（舍去），又∠C=

2π

3

，则A=B=

π

6

；      …4
（Ⅱ）∵f（x）=sin（2x+A）-sin²x+cos²x=

3

sin(2x+

π

3

)，…8
∴T=

2π

|ω|

=π…10
∵x∈[-

π

12

，

π

6

]，则

π

6

≤2x+

π

3

≤

2π

3

…11
而正弦函数y=sinx在[

π

6

，

π

2

]上单调递增，在[

π

2

，

2π

3

]上单调递减，
∴函数f（x）的最小值为

3

2

，最大值为

3

，
即函数f（x）在[

π

6

，

π

2

]上的值域为[

3

2

，

3

]．            …13

点评：本题考查正弦定理及二倍角的正弦，突出考查三角恒等变换的综合应用及正弦函数的单调性与最值，属于中档题．