Question

（本小题满分12分）

平面内动点P（x，y）与两定点A（-2, 0）, B（2,0）连线的斜率之积等于，若点P的轨迹为曲线E，过点Q作斜率不为零的直线交曲线E于点．

（1）求曲线E的方程；

（2）求证：；

（3）求面积的最大值．

 

Answer 1

（1）；（2）略；（3）1.

【解析】

试题分析：（1）根据题意可分别求出连线，的斜率，，再由条件斜率之积为列出方程，进行化简整理可得曲线的方程，注意点不与点重合.根据斜率的计算公式可求得，，所以，化简整理可得曲线的方程为；

（2）若要证，只要证，再利用两个向量数量积为零的坐标运算进行证明即可.那么由题意可设直线的方程为，，联立直线与椭圆的方程消去，可得关于的一元二次方程，由违达定理知，则，，又，，所以，从而可以证明；

（3）根据题意可知，

又，故当时，的面积最大，最大面积为1.

试题解析：（1）设动点P坐标为，当时，由条件得：

，化简得，

故曲线E的方程为. 4分（说明：不写的扣1分）

（2）斜率不为0，所以可设方程为，与椭圆联立得：设， 所以，. 6分

，

所以 8分

（3）面积为， 10分

当时的面积最大为. 12分[

考点：1.椭圆的方程；2.向量法证明两直线垂直；3.三角形面积的计算.