Question

18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos²$\frac{B+C}{2}$=$\frac{1}{5}$，△ABC的面积为4．
（Ⅰ）求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的值；
（Ⅱ）若2sinB=5sinC，求a的值．

Answer 1

分析 （I）由cos²$\frac{B+C}{2}$=$\frac{1}{5}$，可得$\frac{1+cos（B+C）}{2}$=$\frac{1}{5}$，化为cosA=$\frac{3}{5}$，A∈（0，π），利用sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$即可得出．利用S_△ABC=4=$\frac{1}{2}$bcsinA，可得bc．即可得出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$．
（II）由2sinB=5sinC，得2b=5c，又bc=10，解得b，c．再利用余弦定理即可得出．

解答 解：（I）在△ABC中，∵cos²$\frac{B+C}{2}$=$\frac{1}{5}$，∴$\frac{1+cos（B+C）}{2}$=$\frac{1}{5}$，
∴$\frac{1-cosA}{2}=\frac{1}{5}$，解得cosA=$\frac{3}{5}$，A∈（0，π），
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$．
∵S_△ABC=4=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc×$\frac{4}{5}$，可得bc=10．
$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=bccosA=10×$\frac{3}{5}$=6．
（II）由2sinB=5sinC，得2b=5c，又bc=10，解得b=5，c=2．
∴a²=b²+c²-2bccosA=17，
∴a=$\sqrt{17}$．

点评 本题考查了余弦定理、倍角公式、三角函数的面积计算公式、同角三角函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．