Question

已知函数，（其中a＞0且a≠1）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若a＞1，判断f（x）的单调性；
（3）当f（x）的定义域区间为（1，a）时，f（x）的值域为（1，+∞），求a的值．

Answer 1

解：（1）由得x＜-1或x＞1，即f（x）的定义域为{x|x＜-1或x＞1}，
又f（-x）==-f（x）
故f（x）为奇函数．
（2）由y=log_at和复合而成，
a＞1时，y=log_at为增函数，
而在（-∞，-1）和（1，+∞）上都为减函数，
由复合函数的单调性知，f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上都为减函数．
（3）由题意a＞1，由（2）可知f（x）在（1，a）上为减函数，
故f（x）＞f（a）==1，即a²-2a-1=0，
a=1±，又因为a＞1，故a=
分析：（1）先求出f（x）的定义域，再利用奇偶性的定义判断奇偶性即可，注意到与互为导数，其对数值互为相反数．
（2）可通过复合函数“同增异减”判单调性．
（3）结合（2）中的单调性求出f（x）的最值，结合值域解方程即可．
点评：本题考查函数奇偶性的判断、复合函数单调性的判断及单调性的应用，考查利用所学知识解决问题的能力．