Question

9．满足z+$\frac{10}{z}$是实数，且z+4的实部与虚部互为相反数的虚数z是否存在，若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 假设存在虚数z，则设z=a+bi（a，b∈R，且b≠0），由已知条件列出方程组，求解即可得到a，b的值，则答案可求．

解答 解：假设存在虚数z，则设z=a+bi（a，b∈R，且b≠0），
则$\left\{\begin{array}{l}a+bi+\frac{10}{a+bi}∈R\\ a+4+b=0\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}b-\frac{10b}{{{a^2}+{b^2}}}=0\\ a+b=-4.\end{array}\right.$，
∵b≠0，∴$\left\{\begin{array}{l}{a^2}+{b^2}=10\\ a+b=-4\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=-3\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=-1.\end{array}\right.$．
∴存在虚数z₁=-1-3i或z₂=-3-i满足上述条件．

点评 本题考查了复数相等的充要条件，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．