Question

1．设a为实数，函数f（x）=x²+|x-a|+1（x∈R）
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）当x≤a时，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据定义，求f（-x）=x²+|x+a|+1，对参数a分类讨论即可；
（2）当x≤a时，得出函数表达式f（x）=x²-x+a+1，可知函数的对称轴为x=$\frac{1}{2}$，只需对a分类讨论即可．

解答 解：（1）f（-x）=x²+|-x-a|+1=x²+|x+a|+1，
∴当a=0时，函数为偶函数，当a≠0时，为非奇非偶函数；
（2）当x≤a时，f（x）=x²+|x-a|+1=x²-x+a+1
当a≤$\frac{1}{2}$时，函数的最小值为f（a）=a²+1；
当a＞$\frac{1}{2}$时，函数的最小值为f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$+a．

点评 本题考查了函数奇偶性的判断和二次函数参数讨论问题．属于常规题型，应熟练掌握．