Question

6．已知点A（2，1），P是焦点为F的抛物线y²=4x上的任一点，当△PAF的周长最小时，△PAF的面积为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{7}{8}$
• D． $\frac{7}{4}$

Answer 1

分析 设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，求出P的坐标，可得△PAF的面积．

解答 解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|
∴△APF的周长最小，|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小
当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，设P（x，1），则1=4x，
∴x=$\frac{1}{4}$，
∴P（$\frac{1}{4}$，1）．
∴△PAF的面积为$\frac{1}{2}×（2-\frac{1}{4}）×1$=$\frac{7}{8}$，
故选：C．

点评 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题，正确转化是关键．