Question

16．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点F₁，F₂，过其中两个端点的直线斜率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过两个焦点和一个顶点的三角形面积为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），AF₁的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点，求△ABC面积的最大值，并求此时直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）根据题意，得出$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$①，cb=1②，a²=b²+c²③，由①②③解得c、b、a的值即可；
（2）讨论直线AB的斜率不存在与斜率存在时，求出对应△ABC的面积，由此判断△ABC面积的最大值以及此时AB的直线方程．

解答 解：（1）椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）中，
过其中两个端点的直线斜率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$①；
过两个焦点和一个顶点的三角形面积为1，∴c•b=1②；
又a²=b²+c²③，
由①②③解得c=b=1，a=$\sqrt{2}$；
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）当直线AB的斜率不存在时，
可知A（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），C（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
故S_△ABC=$\sqrt{2}$，
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x+1），
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$化简得，
（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，
∴x_A+x_B=-$\frac{{4k}^{2}}{{2k}^{2}+1}$，x_Ax_B=$\frac{{2k}^{2}-2}{{2k}^{2}+1}$，
故|x_A-x_B|=$\sqrt{{{（x}_{A}{+x}_{B}）}^{2}-{{4x}_{A}x}_{B}}$
=2$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}}{{2k}^{2}+1}$，
故|AB|=$\sqrt{1{+k}^{2}}$|x_A-x_B|
=2$\sqrt{2}$•$\frac{{k}^{2}+1}{{2k}^{2}+1}$，
点C到直线AB的距离d=$\frac{|k（{-x}_{A}+1）{+y}_{A}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{2|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
故S_△ABC=$\frac{1}{2}$•（2$\sqrt{2}$•$\frac{{k}^{2}+1}{{2k}^{2}+1}$）•$\frac{2|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$
=2$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{{k}^{2}{（k}^{2}+1）}{{（{2k}^{2}+1）}^{2}}}$
=2$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{{4（{2k}^{2}+1）}^{2}}}$＜$\sqrt{2}$；
综上，△ABC面积的最大值为$\sqrt{2}$，此时AB的方程为x+1=0．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的性质应用，同时考查了数形结合的思想应用及分类讨论的思想应用，关键在于化简运算．