Question

11．已知双曲线C过点A（-$\sqrt{15}$，1），且与x²-3y²=1有相同的渐近线．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过双曲线C的一个焦点作倾斜角为45°的直线l与双曲线交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）由题意，设双曲线C的方程为x²-3y²=λ，点A（-$\sqrt{15}$，1），代入可得λ，即可求双曲线C的标准方程；
（2）过双曲线C的一个焦点作倾斜角为45°的直线l方程为y=x-4，代入x²-3y²=12得x²-12x+30=0，利用弦长公式，求|AB|．

解答 解：（1）由题意，设双曲线C的方程为x²-3y²=λ，点A（-$\sqrt{15}$，1），代入可得λ=15-3=12，
∴x²-3y²=12，
∴双曲线C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{12}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）由双曲线方程$\frac{{x}^{2}}{12}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1可得a=2$\sqrt{3}$，b=2，
又由c²=a²+b²，得c=4，F₂（4，0）
过双曲线C的一个焦点作倾斜角为45°的直线l方程为y=x-4，
代入x²-3y²=12得x²-12x+30=0，∴x=6±$\sqrt{6}$
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则|AB|=$\sqrt{2}•$|x₁-x₂|=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查弦长的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．