Question

3．如图，直线e、f为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）两条渐近线，F为右焦点，过点F作FM∥f，交e于M，交双曲线于R，且$\frac{FR}{FM}$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]，则双曲线的离心率的取值范围是[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 求得双曲线的渐近线方程，设直线FM的方程为y=-$\frac{b}{a}$（x-c），联立直线e的方程，解得M的横坐标；联立双曲线的方程可得R的横坐标，运用共线的坐标表示，解不等式结合离心率公式可得所求范围．

解答 解：设直线e的方程为y=$\frac{b}{a}$x，直线f的方程为y=-$\frac{b}{a}$x，
F（c，0），可得直线FM的方程为y=-$\frac{b}{a}$（x-c），
联立直线e的方程，解得M的横坐标为$\frac{c}{2}$，
联立双曲线的方程，可得R的横坐标为$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2c}$，
由$\frac{FR}{FM}$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]，可得
$\frac{c-\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2c}}{c-\frac{1}{2}c}$=1-$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]，
即有$\frac{1}{{e}^{2}}$∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]，
即为e²∈[2，3]，
解得e∈[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$]．
故答案为：[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用双曲线的渐近线方程，联立方程求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题．