Question

18．已知偶函数f（x）的定义域为集合M={x|ln|x|≤5}，f（5）=50，当x＞0且x∈M时，xf′（x）＜2f（x）恒成立，则不等式$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$≤2的解集为（　　）

• A． [-e⁵，-5]∪[5，e⁵]
• B． [-5，0）∪（0，5]
• C． [-e²，-2]∪[2，e²]
• D． [-2，0]∪（0，2]

Answer 1

分析 求出集合M，令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，求出g（x）的单调性，由$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$≤2=$\frac{f（5）}{{5}^{2}}$，得|x|＞5，结合x∈M，求出不等式的解集即可．

解答 解：由xf′（x）＜2f（x），得：xf′（x）-2f（x）＜0，
由ln|x|≤5，解得：-e⁵≤x≤e⁵，
令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，故g（x）的定义域是[-e⁵，0）∪（0，e⁵]，
则g′（x）=$\frac{f′（x{）x}^{2}-2xf（x）}{{x}^{4}}$=$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$＜0，
∴x＞0时，g（x）在定义域递减，又f（x）是偶函数，
∴x＜0时，f（x）在定义域递增，
∴由$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$≤2=$\frac{f（5）}{{5}^{2}}$，得：|x|＞5，解得：x＞5或x＜-5，
∴不等式的解集是：[-e⁵，-5]∪[5，e⁵]，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．