Question

15．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinx•cosx-2sin²x+1（x∈R）
（1）设函数g（x）=f（x+$\frac{φ}{2}$），φ∈（0，π），若g（x）为偶函数，求g（x）最大值及相应的x值的集合．
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=h（x）的图象，若关于x的方程h（x）+k=0，在区间[0，π]上有实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用可求f（x），g（x）解析式，由偶函数的性质可求φ，利用余弦函数的单调性即可得解．
（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得函数解析式h（x），由题意可得函数h（x）与y=-k在区间[0，π]上有交点，结合正弦函数的图象可得k的范围．

解答 解：（1）∵f（x）=2$\sqrt{3}$sinx•cosx-2sin²x+1
=$\sqrt{3}$sin2x-（1-cos2x）+1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
又∵g（x）=f（x+$\frac{φ}{2}$）=2sin[2（x+$\frac{φ}{2}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+φ+$\frac{π}{6}$）为偶函数，
∴图象关于y轴为对称轴，φ+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∵φ∈（0，π），
∴φ=$\frac{π}{3}$．…（9分）
则g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x．…（10分）
当cos2x=-1时，函数g（x）取得最大值2，此时x∈{x|x=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z}．…（12分）
（2）将f（x）的图象向右平移个$\frac{π}{4}$个单位后，得到y=2sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=2sin（x-$\frac{π}{3}$）的图象．
所以：h（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）．
因为：0≤x≤π，
所以：-$\frac{π}{3}$≤x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，h（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\sqrt{3}$，2]，
因为：关于x的方程h（x）+k=0，在区间[0，π]上有实数解，
所以：-$\sqrt{3}$≤-k≤2，解得实数k的取值范围为：-2≤k$≤\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象，三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．