Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：的离心率为，左焦点为F，过原点的直线l交椭圆于M，N两点，△FMN面积的最大值为1．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设P，A，B是椭圆E上异于顶点的三点，Q（m，n）是单位圆x²+y²=1上任一点，使．
①求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；
②求OA²+OB²的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由△FMN面积，可得cb=1，再有离心率公式及a²=b²+c²即可得到a，b，c；
（2）①设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把点A，B代入椭圆方程可得③，④，又Q（m，n）是单位圆x²+y²=1上任一点可得m²+n²=1⑤，
由，得到因P在椭圆上，故． 把③④⑤代入上式即可得出x₁，y₁，x₂，y₂，满足的式子即可证明结论；
②利用①的结论为定值．可得故． 及  又，可得．故可证明OA²+OB²=为定值．
解答：解：（1）由椭圆的离心率为，得①，
又△FMN面积，所以cb=1②，
由①②及a²=b²+c²可解得：a²=2，b²=c²=1，
故椭圆E的方程是． 
（2）①设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则③，④，
又m²+n²=1⑤，
因，故
因P在椭圆上，故．      
整理得．
将③④⑤代入上式，并注意点Q（m，n）的任意性，得：．
所以，为定值．
②，
故．                 
又，故．所以OA²+OB²==3．
点评：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量运算、斜率的计算公式、三角形的面积计算公式等基础知识，需要较强运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．