Question

（本题满分14分）已知椭圆经过点，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点．直线与直线分别与轴交于点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）由题意得，解得，，进而求出椭圆的方程．

（2）以线段为直径的圆过轴上的定点，由得．

设，则有，，进而可得点，可知直线的方程为，故点；直线的方程为，故点，

若以线段为直径的圆过轴上的定点，则等价于恒成立．即可得到．解得，进而可得以线段为直径的圆过轴上的定点．

试题解析：【解析】
（1）由题意得，解得，．

所以椭圆的方程是． 4分

（2）以线段为直径的圆过轴上的定点.

由得．

设，则有，．6分

又因为点是椭圆的右顶点，所以点．

由题意可知直线的方程为，故点．

直线的方程为，故点． 8分

若以线段为直径的圆过轴上的定点，则等价于恒成立． 9分

又因为，，

所以恒成立．

又因为，

，

所以．解得．

故以线段为直径的圆过轴上的定点． 14分

考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系．