Question

若函数f（x）=x³-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上，则使得方程f（x）=1000有正整数解的实数a的取值个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：由题意根据函数f（x）=x³-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上可得a的范围，然后对f（x）进行求导，求出函数在区间[-10，10]上的最大值，然后再进行判断．

解答：解：∵函数f（x）=x³-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上，
又f（x）=x³-ax=x（x²-a）=0，令f（x）=0，
∴x=0或x=±

a

，
函数f（x）=x³-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上
∴

a

≤10∴a≤100
∵f'（x）═3x²-a，令f（x）′=0，
解得x=±

a 3

，
∴当x＞

a 3

或x＜-

a 3

时，f（x）′＞0，为增函数；
当-

a 3

＜x＜

a 3

时，f（x）′＜0，为减函数；
∴当x=-

a 3

时，有极大值，f（-

a 3

）=(- 

a 3

) 3-a×（-

a 3

）=

2a a

3 3

≤

2000

3 3

，
∵

2000

3 3

＜1000，f（10）=1000-10a＜1000，结合函数的单调性f（x）=x³-ax（a＞0）
知方程f（x）=1000有正整数解在区间[10，+∞）上，此时令x³-ax=1000，可得x2-a=

1000

x

此时有a=x2-

1000

x

，由于x为大于10的整数，由上知x2-

1000

x

≤100，令x=11，12，13时，不等式成立，
当x=14时，有142-

1000

14

=196-71

6

14

＞100
故可得a的值有三个，
应选C．

点评：此题考查函数的零点与方程根的关系，解题的关键是求出f（x）在区间[-10，10]上的值域，是一道好题．