Question

【题目】若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+n．

（Ⅰ）求证：数列{an﹣1}是等比数列；

（Ⅱ）记bn= ，求数列{bn}的前n项和．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）由Sn=2an+n，式中n用n-1代，Sn﹣1=2an﹣1+（n﹣1）(n>1)，两式作差，可得an=2an﹣1﹣1，可证。（2）由（1）可得，代入得，所以裂项求和可求和。

试题解析：（1）当n=1时，a1=S1=2a1+1，解得a1=﹣1，

当n＞1时，由题意，Sn﹣1=2an﹣1+（n﹣1）

所以，Sn﹣Sn﹣1=（2an+n）﹣[2an﹣1﹣（n﹣1）]=2an﹣2an﹣1+1，即an=2an﹣1﹣1，

所以 an﹣1=2（an﹣1﹣1），

即

所以，数列{an﹣1}是首项为﹣2，公比为2等比数列；

（2）由上，，

所以，，

所以，．