Question

在平面直角坐标系xOy中，点P是圆x²+y²=4上一动点，PD⊥x轴于点D．记满足

OM

=

1

2

（

OP

+

OD

）的动点M的轨迹为T．
（1）求证：轨迹T是椭圆，并写出方程；
（2）O为坐标原点，斜率为k的直线过T的右焦点，且与T交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若

x1x2

a2

+

y1y2

b2

=0（a，b分别是T的长半轴与短半轴长），求△AOB的面积．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：本题（1）根据点P与M的坐标关系，利用点P在已知圆上，通过代入法，求出所得曲线的方程，得到本题结论；（2）由点斜式设出直线的方程，利用韦达定理结合条件“

x1x2

a2

+

y1y2

b2

=0”，求出k的值，再利用弦长公式、点线距离公式分别求出边长和高，得到△AOB的面积，得到本题结论．

解答： 解：（1）设P（x₀，y₀），M（x′，y′）．
∵PD⊥x轴于点D．记满足

OM

=

1

2

（

OP

+

OD

）
∴

x0=x′ y0=2y′

，
∵点P在圆x²+y²=4上
∴x02+y02=4，
∴x′²+4y′²=4，
∴

x′2

4

+y′2=1，
即轨迹T是椭圆，椭圆方程为：

x2

4

+y2=1．
（2）记a，b分别是T的长半轴与短半轴长，c为半焦距长，
由（1）知：a²=4，b²=1，
∴c²=3，c=

3

．
∵斜率为k的直线l过T的右焦点，
∴线l的方程为：y=k（x-

3

）．
由

y=k(x- 3 ) x2 4 +y2=1

，
得到：(4k2+1)x2-8

3

k2x+12k2-4=0，
∴x₁x₂=

12k2-4

4k2+1

，x₁+x₂=

8 3 k2

4k2+1

，
∵直线l与T交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且

x1x2

a2

+

y1y2

b2

=0，
∴x₁x₂+4y₁y₂=0，
∵y1=k(x1-

3

)，
y 2=k(x2-

3

)，
∴（4k²+1）x₁x₂-4

3

k²（x₁+x₂）+12k²=0，
∴k2=

1

2

，
∴k=±

2

2

．
由双曲线的对称，不妨取k=

2

2

．
则：直线方程为：x-

2

y-

3

=0．
x₁x₂=

2

3

，x₁+x₂=

4 3

3

．
弦长|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=2．
原点O（0，0）到直线的距离为：d=

|0-0- 3 |

1+2

=1，
∴△AOB的面积为：

1

2

×1×2=1，
∴∴△AOB的面积为1．

点评：本题考查椭圆方程的求法、曲线方程的证明，考查韦达定理、弦长公式、点线距离公式、三角形面积的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．