Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AA₁、CC₁的中点，则
（1）异面直线D₁C₁与BD所成的角的大小是

 

；
（2）求证：BD∥平面B₁D₁E；
（3）求证：平面BDF∥平面B₁D₁E．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定,异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由条件利用正方体的性质，可得异面直线D₁C₁与BD所成的角即∠BDC，从而得到答案．
（2）由正方体的性质可得BD∥B₁D₁，再利用直线和平面平行的判定定理证得 BD∥平面B₁D₁E．
（3）证明BF∥D₁E，利用直线和平面平行的判定定理证得BF∥平面B₁D₁E．结合（2）的结论以及BF∩BD=B，利用平面和平面平行判定定理证得平面BDF∥平面B₁D₁E．

解答： 解：（1）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由于D₁C₁∥DC，故异面直线D₁C₁与BD所成的角即∠BDC，
而∠BDC=45°，∴异面直线D₁C₁与BD所成的角的大小是45°，
故答案为：45°．
（2）由正方体的性质可得BD∥B₁D₁，而B₁D₁?平面B₁D₁E，BD不在平面B₁D₁E内，
∴BD∥平面B₁D₁E．
（3）取DD₁的中点M，则D₁E∥MA，而MA∥BF，∴BF∥D₁E．
而D₁E?平面B₁D₁E，BF不在平面B₁D₁E中，故有BF∥平面B₁D₁E．
再由BD∥平面B₁D₁E，且BF∩BD=B，∴平面BDF∥平面B₁D₁E．

点评：本题主要考查求异面直线所成的角，直线和平面平行的判定定理、平面和平面平行判定定理的应用，属于基础题．