Question

已知函数和，且.
（1）求函数，的表达式；
（2）当时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）当时，，；当时，，；（2）.

试题分析：本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识，考查分类讨论思想和运算能力.第一问，先求函数与的导数，由于，所以列出等式，解方程求出的值，由于的值有2个，所以分情况分别求出与的解析式；第二问，因为，所以第一问的结论选择的情况，所以确定了与的解析式，当时，是特殊情况，单独考虑，只需在时大于等于0即可，而当时，，所以只需判断的单调性，判断出在时，取得最小值且最小值为，所以.
试题解析：(1)由，得，
由，得.
又由题意可得，
即，故或.
所以当时，，；
当时，，.(6分)
(2) ，，.
当时，，
在上为减函数，；
当时，，
在上为增函数，，且.
要使不等式在上恒成立，当时，为任意实数；
当时，，
而．
所以. (13分)