Question

设定义域（0，+∞）的单调函数，对任意的x∈（0，+∞），都有f（f（x）-log₂x）=3，若x₀是方程f（x）-f′（x）=2的一个解，则x₀∈

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由条件可得，必存在唯一的正实数a，满足f（x）-log₂x=a，f（a）=3，①f（a）-log₂a=a，②通过单调性解得a=2，得到f（x）的解析式，求出导数，再由零点存在定理，即可得到所求范围．

解答： 解：∵定义域为（O，+∞）的单调函数f（x），
满足f[f（x）-log₂x]=3，
∴必存在唯一的正实数a，
满足f（x）-log₂x=a，f（a）=3，①
∴f（a）-log₂a=a，②
由①②得：3-log₂a=a，log₂a=3-a，
a=2^3-a，左增，右减，有唯一解a=2，
故f（x）-log₂x=a=2，f（x）=2+log₂x，f′（x）=

1

xln2

，
方程f（x）-f′（x）=2即为log₂x-

1

xln2

=0，
令g（x）=log₂x-

1

xln2

，g（1）=0-

1

ln2

＜0，g（2）=1-

1

2ln2

＞0，
则x₀∈（1，2）．
故答案为：（1，2）．

点评：本题考查对数的运算性质的综合运用，考查零点存在定理及运用．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．