【题目】已知椭圆上一点关于原点的对称点为,点, 的面积为,直线过上的点.
(1)求的方程;
(2)设为的短轴端点,直线过点交于,证明:四边形的两条对角线的交点在定直线上.
【答案】(1);(2)证明见解析
【解析】
(1)根据已知可得,根据椭圆的对称性结合的面积为,求出点的横坐标,利用三点共线,求出点的纵坐标,将点坐标代入椭圆方程,即可求解.
(2)设,得出直线方程,联立求出交点坐标,要证明交点在定直线上,寻求关系,设出直线方程,与椭圆方程联立,消元得到的方程,得到关系,代入交点坐标,化简即可证明结论.
(1)设坐标原点为,.
由题意得,,
又,且直线过上的点,所以.
又三点共线,所以,即,故.
又直线过上的点,所以,
即椭圆,将代入椭圆,解得,
所以椭圆的方程为.
(2)依题意,直线斜率必存在,设其方程为,
设,,则,,,,
联立得,
所以,解得,
,,所以,
不妨设,,
所以直线方程为,直线方程为,
联立整理,
解得
,
所以,四边形的两条对角线的交点在定直线上.
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【题目】为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标,国家加大了扶贫攻坚的力度.某地区在2015 年以前的年均脱贫率(脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比)为.2015年开始,全面实施“精准扶贫”政策后,扶贫效果明显提高,其中2019年度实施的扶贫项目,各项目参加户数占比(参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比)及该项目的脱贫率见下表:
实施项目 | 种植业 | 养殖业 | 工厂就业 | 服务业 |
参加用户比 | ||||
脱贫率 |
那么年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,二面角α﹣1﹣β的平面角的大小为60°,A,B是1上的两个定点,且AB=2.C∈α,D∈β,满足AB与平面BCD所成的角为30°,且点A在平面BCD上的射影H在△BCD的内部(包括边界),则点H的轨迹的长度等于( )
A.B.C.D.
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【题目】原始的蚊香出现在宋代.根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载:“端午时,贮浮萍,阴干,加雄黄,作纸缠香,烧之,能祛蚊虫.”如图,为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”,画法如下:在水平直线上取长度为1的线段,做一个等边三角形,然后以点为圆心,为半径逆时针画圆弧,交线段的延长线于点,再以点为圆心,为半径逆时针画圆弧,交线段的延长线于点,以此类推,当得到的“螺旋蚊香”与直线恰有个交点时,“螺旋蚊香”的总长度的最小值为( )
A.B.C.D.
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【题目】某高校在年的自主招生考试成绩中随机抽取名学生的笔试成绩,按成绩共分五组,得到如下的频率分布表:
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第一组 | |||
第二组 | |||
第三组 | |||
第四组 | |||
第五组 |
(1)请写出频率分布表中、、的值,若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替,请估计全体考生的平均成绩;
(2)为了能选出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第、、组中用分层抽样的方法抽取名考生进入第二轮面试,求第、、组中每组各抽取多少名考生进入第二轮的面试;
(3)在(2)的前提下,学校要求每个学生需从、两个问题中任选一题作为面试题目,求第三组和第五组中恰好有个学生选到问题的概率.
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【题目】在平面直角坐标系中,P为直线:上的动点,动点Q满足,且原点O在以为直径的圆上.记动点Q的轨迹为曲线C
(1)求曲线C的方程:
(2)过点的直线与曲线C交于A,B两点,点D(异于A,B)在C上,直线,分别与x轴交于点M,N,且,求面积的最小值.
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【题目】我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势,实现了气能源需求与供给的东西部衔接,工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展输气管道工程建设中,某段管道铺设要经过一处峡谷,峡谷内恰好有一处直角拐角,水平横向移动输气管经过此拐角,从宽为米峡谷拐入宽为米的峡谷.如图所示,位于峡谷悬崖壁上两点、的连线恰好经过拐角内侧顶点(点、、在同一水平面内),设与较宽侧峡谷悬崖壁所成角为,则的长为________(用表示)米.要使输气管顺利通过拐角,其长度不能低于________米.
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【题目】已知数列{an}的前n项和Sn=n2+pn,且a4,a7,a12成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn,求数列{bn}的前n项和Tn.
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